旧Gemini：
> フルHDの解像度でRGBで24ビットの色数の場合、表示できる静止画の通りの数は、以下の計算で求められます。

• 画素数: フルHDの解像度は1920×1080ピクセルです。

• 1ピクセルあたりの色数: 24ビットの色数は、1677万色（2の24乗）を表します。

• 全てのピクセルの組み合わせ: 1ピクセルあたりの色の組み合わせを全てのピクセルで掛け合わせると、表示できる画像の通りの数がわかります。

計算式

1920 × 1080 × 16777216 = 3.6893488 × 10¹⁹ 通り

答え

つまり、フルHDの解像度でRGBで24ビット> の色数の場合、約3.689 × 10¹⁹通りの静止画を表示することができます。

　

ChatGPT：

Geminiの回答には誤りがあります。以下に説明します。

---

誤りの内容

Geminiの回答で用いられている式
[
1920 \times 1080 \times 16,777,216 = 3.6893488 \times 10^{19}
]
は、フルHDの画素数と1ピクセルあたりの色数を掛け合わせたものです。しかし、この式は「フルHDの解像度で表示できる静止画の通りの数」を正しく求める方法ではありません。

正しい計算方法

1ピクセルあたりの色数が16,777,216通り（24ビットカラー）であり、フルHD画像全体が2,073,600ピクセル（1920×1080）であると考えると、表示可能な静止画の通り数は以下のように求めます。

正しい式

[
16,777,216^{2,073,600}
]

この計算は、各ピクセルが独立して16,777,216色から1色を選べる場合の総組み合わせ数を表しています。この結果は、桁数が非常に大きく、具体的な数値として表すことは実際的ではありません。

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結論

したがって、Geminiの回答の「3.6893488 × 10^{19}通り」は誤りです。正しい答えは( 16,777,216^{2,073,600} )通りで、これは想像を絶するほど巨大な数です。

合っているのだろうか…
少し不安である…

ためしに多倍長電卓で16777216^2073600を481622桁まで20秒かけて計算してみた。
1.500416922648713659562119353861314698489596010100536668539209917652464999698
2575308955193825259349383390832488573648305853230007056365275859245946593885021563
3564537004464911717300334231983735786893176593681712171837567660665836406678502492
6594918301820412497551110163604404783602873588348110108423252038998780503432683849
4866294226197892098793953105029451285842970782662556354451169489591940057473532896
6021810525256502204497547543882926894319724558884490000083248374949353392340723527
0146215695609280181935989805627975145795854083061484112605451114816046265410937023
9543366785582775702155303026018823782789340773284712355422793647953640332137881767
0593144080297856567444899762333756524762535384400725269289379868831588323898430613
6531899553170965983757904697473491602266492793166196174659878415427634737507489852
2690031866040234308585773186707421229689802581608555641007371658395615259634787218
4094899360426422946307695524981525294180891542359221176496956985804815582000412503
716740332420387091375347………e14981179

という風になった。
「e」とは10の累乗(指数)である。
つまり1.500416922649×10^14981179である。
ChatGPT：

計算結果「1.500416922649 × 10^{14981179}」を全桁数で保存する場合、そのファイルサイズを見積もるには、まずこの数値が何桁になるかを確認し、その桁数分のデータを保存するために必要なバイト数を計算します。

手順

1. 桁数の確認:
   • この数値は「1.500416922649 × 10^{14981179}」という形式であり、仮数部分の「1.500416922649」には小数点以下も含めて13桁の数値が含まれています。
   • 10の指数が「14981179」であるため、この数値全体の桁数は「1」から始まる整数部分の「1桁」+「14981179桁」で、合計14,981,180桁になります。
2. 保存に必要なバイト数:
   • テキストファイルは通常、1文字あたり1バイトで保存されます（ASCII形式の場合）。したがって、1桁の数字を保存するのに1バイト必要です。
   • したがって、14,981,180バイトが必要となります。
3. ファイルサイズの見積もり:
   • 14,981,180バイト ≈ 14.98 MB（メガバイト）

結論

この数値を全桁数で保存するためには、約14.98 MBのテキストファイルが必要になります。

まあ意味のない計算ではあるが気になる。
最終的には人間の目に見えるものの組み合わせが何通りあるか知りたいところなのだが一生かけても無理であろう。
ちなみに動画や時間の概念が入ると無限になるので無意味である。
今回のは静止画の話である。

スパコンで計算に何日かかるか

ChatGPT 4.5:

現在世界最速のスーパーコンピューター「富岳（Fugaku）」は、約442ペタフロップス（毎秒4.42×10¹⁷回の浮動小数点演算）を実現しています[3]。

計算したい式は以下の通りです：

$$
16,777,216^{2,073,600}
$$

これは非常に巨大な数値であり、実際に計算するには膨大な時間がかかります。まず、この計算に必要な演算回数を概算します。

演算回数の概算：

指数計算 $$a^b$$ は、単純な掛け算を繰り返すと仮定すると、最低でも $$(b-1)$$ 回の掛け算が必要です。
今回の場合は：

• 底 $$a = 16,777,216$$ （約1.68×10⁷）
• 指数 $$b = 2,073,600$$ （約2.07×10⁶）

したがって、単純な掛け算だけで考えても約207万回の掛け算が必要ですが、問題はその一回一回の掛け算が非常に巨大な桁数同士の演算であることです。

桁数から見た演算量：

この数値は約1,498万桁（14,981,180桁）という超巨大数です。
2つの巨大な数値同士を掛け合わせる場合、一般的なアルゴリズムでは桁数の二乗に比例する演算量が必要になります。

つまり、一度の掛け算あたりの演算量はおよそ：

$$
(1.498\times10⁷)² \approx 2.244\times10^{14}
$$

となります。

これを207万回繰り返すため、総演算量はおよそ：

$$
2.244\times10^{14} \times 2.07\times10⁶ \approx 4.645\times10^{20}
$$

約 $$4.645\times10^{20}$$ 回の演算が必要と概算できます。

スーパーコンピューター「富岳」で計算した場合：

富岳は毎秒4.42×10¹⁷回の浮動小数点演算が可能ですから、この計算を終えるまでにかかる時間は：

$$
\frac{4.645\times10^{20}}{4.42\times10^{17}} \approx 1051秒
$$

これはあくまで単純化した理想的な仮定（浮動小数点演算のみで考えた場合）です。しかし実際には、このような超巨大整数同士の乗算処理には浮動小数点演算よりも遥かに複雑なアルゴリズムやメモリ管理が求められます。実際にはメモリ容量やデータ転送速度などハードウェア的制約がボトルネックとなり、さらに膨大な時間がかかります。

実際的な見積もり：

実際には、このような超巨大整数を扱う場合、単純な浮動小数点演算だけでは済まず、特殊な多倍長整数演算ライブラリを用いる必要があります。そのため現実的には上記より遥かに多くの時間（何倍～何千倍以上）がかかるでしょう。

仮に上記理想値（1051秒＝約17分半）を最低限としても、多倍長整数処理やメモリ管理など現実的要素を考慮すると、少なくとも数時間～数日以上はかかる可能性があります。

結論：

理論上・理想的に単純化した場合でも十数分程度ですが、現実的には多倍長整数演算やメモリ制約などを考慮すると、現在最速クラスのスパコンでも現実的には何時間～何日間というオーダーで時間がかかると推測されます。

Citations:
[1] https://vdoc.pub/documents/systems-architecture-67q0kpar1pp0
[2] https://spacemath.gsfc.nasa.gov/Grade67/7Page46.pdf
[3] https://www.ibm.com/think/topics/supercomputing
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Supercomputer
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point_operations_per_second
[6] https://sciendo.com/2/download/otcgVS3xJ-zm_hCGOF~7XH42ysIbt34dQiRzjBgZXb.pdf
[7] https://servicenow.iu.edu/kb?id=kb_article_view&sysparm_article=KB0023145
[8] https://core.ac.uk/download/161881552.pdf
[9] https://www.ciceco.ua.pt/?menu=255&language=eng&tabela=geral_article&id_article=1245
[10] https://vdoc.pub/documents/digital-video-editing-fundamentals-57lrumhnd810
[11] https://superuser.com/questions/452498/how-can-computers-calculate-exponential-math-without-overflow-errors
[12] https://www.fujitsu.com/global/about/businesspolicy/tech/k/column/
[13] https://www.reddit.com/r/mathematics/comments/rufv9o/super_large_exponents_calculator/
[14] https://www.scientificamerican.com/article/new-exascale-supercomputer-can-do-a-quintillion-calculations-a-second/
[15] https://stackoverflow.com/questions/11289495/what-is-the-fastest-way-to-compute-large-power-of-2-modulo-a-number
[16] https://www.ict.tuwien.ac.at/lva/384.081/IPJ-All_Iusses.pdf
[17] https://math.stackexchange.com/questions/1687168/is-there-a-way-to-calculate-absurdly-high-powers
[18] https://www.reddit.com/r/explainlikeimfive/comments/37az51/eli5_does_it_take_longer_time_effort_for_a/